《基本初等函数及函数的应用（一）》

真题热身

1.   设a＞0 a≠1，则“函数f（x）=a²在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2-a）x³在R上是增函数”的（A）

A  充分不必要条件    B 必要不充分条件    C 充分必要条件   D 既不充分也不必要条件

2.  已知函数f（x）=e^|x-a| （a为常数），若f（x）在区间[1,+∞﹚上是增函数，则a的取值范围是（-∞，1]        

   【解析】根据函数f（x）=e^|x-a|=e^x-a，，x≥a   e^-x+a，x＜a看出当x≥a时，函数增函数，而已知函数f（x）在区间[1,+∞﹚上是增函数，所以a的取值范围是（-∞，1]

    本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用。

3   函数f（x）=㏒₅（2x+1）的单调增区间是（-，+∞）

4   已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[-1,1]时，f（x）=x²，那么函数y=f（x）的图像与函数y=|㏒x|的图像的交点共有（10 ）

【解析】如图，作出图像可知y=f（x）与y=|㏒x|的图像共有10个交点

  考点整合

1.   二次函数

2. （1）求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个和区间重点，一轴指的是对称轴

（2）注意三个“二次”的相互转化解题

（3）二次方程实根分布问题，抓住四点：“开口方向、判断式⊿、对称轴位置、区间端点函数值正负。”

  3. 函数与方程

（1）函数的零点

 对于函数f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数f（x）的零点。

（2）零点存在性定理

 如果函数y=f（x）在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，且有f（a）*f（b）＜0，那么函数y=f（x）在区间（a,b）内有零点，即存在c∈（a，b）使得f（c）=0

  注意以下两点：

① 满足条件的零点可能不唯一

② 不满足条件时，也可能有零点

3. 函数思想的应

(1)   方程根的分布或根的个数，转化为相应函数零点的分布或个数，对于一元二次方程实根分布的解决思路及方法是：

设二次方程对应的二次函数，然后利用其图形（注意开口的确定）的特征，对判别式、给定区间边界的函数值、对称轴与该区间的关系作全面分析，列出不等式关系，从而解问题。

（2）不等式恒成立问题：a＞f（x）恒成立=>a>[f(x)]_max;

区别：a＞f（x）有解=> a>[f(x)]_max

a=f（x）有解=>a∈f（x）的值域

（3）变换主元法：这是函数思想的一个直接应用

（4）证明不等式

要证f（x）＞g（x），只需证f（x）-g（x）＞0，即证新函数v（x）= f（x）-g（x）的最小值大于0，转化为求函数的最值问题，而这是导数的基本题型

（5）有些比较几个代数式或大小的题目，需要构造对应的函数，利用函数图象或函数的单调性进行比较。

分类突破

一、二次函数的图象与性质

例 1 已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1（a为实常数）

（1）若a=1，作出函数f（x）的图象；

（2）设f（x）在区间[1,2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式

（3）设h（x）= ，若函数h（X）在区间[1,2]上是增函数，求实数a的取值范围。

解 （1）当a=1时，f（x）=x²-|x|+1=x²+x+1，x＜0；x²-x+1，x≥0.作图（如下图所示）

（2）当x∈[1,2]时，f（x）=ax²-x+2a-1

若当a=0，则f（x）=-x-1在区间[1,2]上是减函数

g（a）=f（2）=-3

若a≠1，则f（x）=a（x-）²+2a--1

f（x）图象的对称轴是直线x=

当a＜0时，f（x）在区间[1,2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3

当0＜＜1，即a＞时，f（x）在区间[1,2]上是增函数

g(a)=f(1)=3a-2

当1≤≤2，即≤a≤时，g（a）=f（）=2a--1

当＞2，即0＜a＜时，f（x）在f（x）在区间[1,2]上是减函数

g（a）=f（2）=6a-3

综上可得g（a）=6a-3，a＜；2a--1，≤a≤；3a-2，a＞

（3）求导。[-,1]

归纳拓展

本题是一道函数的综合问题，涉及函数的图象，函数的最值，恒成立问题，第（2）问中不要忘记对a=0的讨论，同时对于二次函数的含参的最值问题；定区间动轴、动区间定轴，东区间动轴动开口等各类问题的研究方法注意总结，导数是研究函数单调性的常用方法。

变式训练1 设函数f（x）=x²+|2x-a|（x∈R，a为实数）

（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；

（2）设a＞2，求函数f（x）的最小值

解 （1）由已知f（-x）=f（x），

即|2x-a|=|2x+a|，解的a=0

（2）f（x）=x²+2x-a，x≥a；x²-2x+a，x＜a

当x≥a时，f（x）=x²+2x-a=（x+1）²-（a+1）

由a＞2，x≥a，得x＞1，从而x＞-1，故f（x）在x≥a时单调递增，f（x）的最小值为f（）=

当x＜a时，f（x）= x²-2x+a=（x-1）²+（a-1）

故当1≤x≤a时，f（X）单调递增，当x＜1时，f（x）单调递减

则f（X）的最小值为f（1）=a-1

由-（a-1）=（a-2）²＞0，知f（X）的最小值为a-1.